Czy matematykę się odkrywa, czy wynajduje?

Spór o pocho­dze­nie mate­ma­ty­ki trwa od same­go jej zara­nia. Czy przy­cho­dzi spo­za codzien­nej rze­czy­wi­sto­ści, z kra­iny abs­trak­cyj­nych, dosko­na­łych, nie­za­leż­nych bytów, jak chciał tego Pla­ton? A może raczej jest wyna­laz­kiem ludz­ko­ści, jak uwa­ża­ją zwo­len­ni­cy tzw. for­ma­li­zmu? Oba obo­zy mia­ły i mają pierw­szo­li­go­wą obsadę.

Do pierw­sze­go obo­zu, poza Pla­to­nem, nale­że­li mię­dzy inny­mi mate­ma­ty­cy God­frey Harold Har­dy (1877–1947) i Kurt Gödel (1906–1978). Dziś zapew­ne naj­bar­dziej zna­nym kon­ty­nu­ato­rem tej tra­dy­cji pozo­sta­je słyn­ny fizyk i mate­ma­tyk bry­tyj­ski Roger Pen­ro­se, któ­ry zasły­nął rów­nież z prób roz­wią­za­nia teo­rii kwan­to­wej gra­wi­ta­cji, a wraz ze Ste­phe­nem Haw­kin­giem udo­wod­nił twier­dze­nie o oso­bli­wo­ściach w Ogól­nej Teo­rii Względności.

Do dru­gie­go zali­cza­li się Albert Ein­ste­in (1879–1955), David Hil­bert (1862–1943), Georg Can­tor (1845–1918), mate­ma­ty­cy z tzw. gru­py Bour­ba­ki (m.in. Jean Coulomb, Jean Dieu­don­né, André Weil, Lau­rent Schwartz – Bour­ba­ki to pseu­do­nim gru­py fran­cu­skich mate­ma­ty­ków, któ­rzy w roku 1935 zało­ży­li dzia­ła­ją­ce przy Éco­le Nor­ma­le Supérieu­re w Pary­żu; dzia­ła­li od lat 30. XX wie­ku) i zna­czą­ca część współ­cze­śnie żyją­cych uczonych.

Jest jesz­cze trze­cia gru­pa – naukow­ców wąt­pią­cych, któ­rzy, jak Gre­go­ry Cha­itin, czy zna­ko­mi­ty mate­ma­tyk Tho­mas J. Wat­son (1874–1956) z IBM Rese­arch Cen­ter pod Nowym Jor­kiem, w dni parzy­ste są pla­to­ni­ka­mi, a w nie­pa­rzy­ste – for­ma­li­sta­mi. Choć, jak mawia Cha­itin, dla wie­lu naukow­ców temat gene­zy mate­ma­ty­ki jest tak bar­dzo nie­po­ko­ją­cy, że w zasa­dzie wole­li­by o nim w ogó­le nie roz­ma­wiać, to gwał­tow­ny roz­wój nauk ści­słych zde­cy­do­wa­nie każe pod­jąć tę dyskusję.

Po pierw­sze, zasta­na­wia „wykra­cza­ją­ca poza zdro­wy roz­są­dek efek­tyw­ność mate­ma­ty­ki” – to sło­wa Euge­ne­’a Wigne­ra (1902–1995), ame­ry­kań­skie­go fizy­ka i mate­ma­ty­ka pocho­dze­nia węgier­skie­go. New­ton powo­łał do życia nowo­cze­sną fizy­kę opie­ra­jąc się na żało­śnie nie­do­kład­nych pomia­rach. Rów­na­nia, któ­ry­mi Paul Dirac kil­ka­dzie­siąt lat temu opi­sał wła­sno­ści elek­tro­nu, wyka­zu­ją nie­praw­do­po­dob­ną wręcz zgod­ność (z dokład­no­ścią do jed­nej bilio­no­wej) z wyni­ka­mi dzi­siej­szych eks­pe­ry­men­tów. A prze­cież zosta­ły przez Dira­ca nie­ja­ko wymy­ślo­ne. Pre­cy­zja mate­ma­tycz­nych prze­wi­dy­wań ogól­nej teo­rii względ­no­ści zosta­ła potwier­dzo­na nawet w bar­dziej dobit­ny spo­sób (z dokład­no­ścią do jed­nej biliar­do­wej), mimo iż Ein­ste­in nie wyko­ny­wał żad­nych eks­pe­ry­men­tów poza myślowymi.

Po dru­gie, mate­ma­ty­ka zda­je się wyprze­dzać nauki przy­rod­ni­cze. Mate­ma­tyk fran­cu­ski Éva­ri­ste Galo­is (1811–1832) wymy­ślił tzw. teo­rię grup na począt­ku XIX w. – po czym, po pół­to­ra wie­ku, oka­za­ło się, że jak ulał pasu­je ona do opi­su tzw. oddzia­ły­wań sil­nych. Uży­wa­jąc tej już wów­czas leci­wej teo­rii Ame­ry­ka­nin Mur­ray Gell-Mann i Izra­el­czyk Yuval Ne’eman poło­ży­li fun­da­men­ty teo­rii kwar­ków. Podob­nych przy­kła­dów jest wie­le. Wyglą­da to tak, mawia Ste­ven Wein­berg, nobli­sta z USA, że gdzie­kol­wiek uda­dzą się fizy­cy, oka­zu­je się, że mate­ma­ty­cy byli tam wcze­śniej. To tak, jak­by Neil Arm­strong wylą­do­wał na Księ­ży­cu i zoba­czył odci­śnię­tą w księ­ży­co­wym pyle sto­pę Juliu­sza Verne’a.

Mario Livio, astro­fi­zyk i histo­ryk nauki ze Spa­ce Tele­sco­pe Scien­ce Insti­tu­te w Bal­ti­mo­re, zauwa­ża, że histo­ria mate­ma­ty­ki prze­ja­wia pew­ną inte­re­su­ją­cą pra­wi­dło­wość. Ludzie wynaj­du­ją pew­ne mate­ma­tycz­ne idee, szu­ka­jąc ele­men­tów abs­trak­cyj­nych w ota­cza­ją­cym ich świe­cie (może cho­dzić o kształ­ty, linie, zbio­ry czy wspo­mnia­ne gru­py). Czy­nią to w jakimś kon­kret­nym, prak­tycz­nym celu (jak nie­gdyś budow­ni­czo­wie, han­dla­rze, kapła­ni itd.) lub dla roz­ryw­ki. Następ­nie zaczy­na­ją odkry­wać nowe, czę­sto zaska­ku­ją­ce związ­ki mię­dzy wyna­le­zio­ny­mi przez sie­bie kon­cep­cja­mi. Mate­ma­ty­ka jest więc jed­no­cze­śnie wynaj­dy­wa­na i odkrywana.

Ozna­cza to mię­dzy inny­mi, że jest ona pro­duk­tem ewo­lu­cji gatun­ku. Micha­el Atiy­ah, mate­ma­tyk bry­tyj­ski, któ­ry wniósł wkład w roz­wój topo­lo­gii, teo­rii rów­nań róż­nicz­ko­wych, fizy­ki mate­ma­tycz­nej, ma zwy­czaj poda­wać przy­kład bar­dzo zaska­ku­ją­cy – medu­zy: gdy­by była zdol­na do stwo­rze­nia mate­ma­ty­ki, był­by to sys­tem ope­ru­ją­cy na wiel­ko­ściach i obiek­tach cią­głych (bo wszyst­ko w oce­anie pły­nie i prze­pły­wa), nie­przy­po­mi­na­ją­cy tego uży­wa­ne­go przez ludzi.

Ste­phen Wol­fram, kon­tro­wer­syj­ny nie­rzad­ko fizyk i mate­ma­tyk bry­tyj­ski, spe­cja­li­zu­ją­cy się w fizy­ce czą­stek ele­men­tar­nych, auto­ma­tach komór­ko­wych i alge­brze kom­pu­te­ro­wej, zna­ny jako twór­ca pro­gra­mu kom­pu­te­ro­we­go Mathe­ma­ti­ca, zapy­ta­ny o to, czy jest coś szcze­gól­ne­go w obec­nej mate­ma­ty­ce, odpo­wia­da: Nie sądzę. Ist­nie­je praw­do­po­dob­nie nie­skoń­cze­nie wie­le sys­te­mów mate­ma­tycz­nych opar­tych na róż­nych zesta­wach aksjo­ma­tów. Wol­fram zresz­tą sam nie­któ­re z nich prze­ba­dał (nume­rycz­nie).

David Gross, fizyk, od roku 1997 jest pro­fe­so­rem na Uni­wer­sy­te­cie Prin­ce­ton i Uni­ver­si­ty of Cali­for­nia w San­ta Bar­ba­ra (za pra­ce doty­czą­ce asymp­to­tycz­nej swo­bo­dy w teo­rii sil­nych oddzia­ły­wań mię­dzy cząst­ka­mi ele­men­tar­ny­mi otrzy­mał w 2004 Nagro­dę Nobla), uwa­ża mate­ma­ty­kę za rodzaj wyra­fi­no­wa­ne­go języ­ka. Nic więc dziw­ne­go, że tak zna­ko­mi­cie opi­su­je rze­czy­wi­stość – język ten roz­wi­nię­to wła­śnie w ten spo­sób, by robił to z jak naj­więk­szym powodzeniem.

Para­dok­sy i nie­roz­strzy­gnię­te pro­ble­my mate­ma­tycz­ne zda­ją potwier­dzać – zda­niem Wol­fra­ma czy Livio – fakt, że mate­ma­ty­ka nie zosta­ła wykra­dzio­na Bogu czy inne­mu wszech­wie­dzą­ce­mu umy­sło­wi, ale wyna­le­zio­na. Stwo­rzo­na przez nas mate­ma­ty­ka wykształ­ca­ła się bowiem i roz­ra­sta­ła wokół zagad­nień prost­szych. Mamy histo­rycz­ną ten­den­cję do zaj­mo­wa­nia się wła­śnie tymi pro­ble­ma­mi, któ­re pod­da­ją się naszym meto­dom. Wyzwa­nia wybie­ra­li­śmy z dużą ostroż­no­ścią, wręcz ase­ku­ranc­ko. To dla­te­go mate­ma­ty­ka zawo­dzi na przy­kład w eko­no­mii, w opi­sie zja­wisk cha­otycz­nych, tur­bu­lent­nych, dzie­dzi­nach sto­sun­ko­wo nowych. Być może inte­li­gent­ne medu­zy mia­ły­by z nimi mniej­sze kło­po­ty niż my, isto­ty wypo­sa­żo­ne w 10 pal­ców u rąk i mają­ce (histo­rycz­nie rzecz bio­rąc) nawyk licze­nia wszyst­kie­go za ich pomocą.

Pozo­sta­je jesz­cze pyta­nie o nie­by­wa­łą sku­tecz­ność mate­ma­ty­ki. Jeśli nie zosta­ła spro­wa­dzo­na z pla­toń­skiej kra­iny idei, to skąd się wzię­ła? Ano stąd, prze­ko­nu­ją mate­ma­ty­cy i fizy­cy, że natu­ra rze­czy­wi­ście wyda­je się rzą­dzo­na pew­ny­mi fun­da­men­tal­ny­mi pra­wi­dło­wo­ścia­mi – taki­mi jak choć­by syme­tria. Pra­wa fizy­ki są nie­za­leż­ne od tego czy na przy­kład roz­pa­tru­je­my ukła­dy nie­ru­cho­me czy poru­sza­ją­ce się. Gdy­by Wszech­świat nie był syme­trycz­ny, pisze Livio, jakie­kol­wiek pró­by odszy­fro­wa­nia natu­ry rze­czy­wi­sto­ści, pró­by zbu­do­wa­nia sen­sow­ne­go mode­lu mate­ma­tycz­ne­go były­by ska­za­ne na poraż­kę. Mate­ma­ty­cy i fizy­cy czę­sto przy­zna­ją, że w swo­jej pra­cy kie­ru­ją się poczu­ciem pięk­na, poszu­ku­ją w przy­ro­dzie syme­trii. Jed­nak gdy­by przy­ro­da była inna niż jest, nigdy by jej nie znaleźli.

Dla jed­nych mate­ma­ty­ka to – jak mawia Cha­itin – „pięk­ny świat zamiesz­ki­wa­ny przez jed­no­roż­ce i pega­zy, w któ­rym rozum spraw­dza się lepiej niż w naszym”, dla innych zaś – zale­d­wie zestaw uży­tecz­nych narzę­dzi. Nie­za­leż­nie od subiek­tyw­nych odczuć na jej temat, przed mate­ma­ty­ką rysu­je się świe­tla­na przy­szłość, mawia Ste­phen Wol­fram. Będzie­my odkry­wać nowe sys­te­my mate­ma­tycz­ne, całe nie­zna­ne wszech­świa­ty matematyki.

Karol Jało­chow­ski

To tyl­ko jeden z 88 tema­tów w dodat­ku do tygo­dni­ka Poli­ty­ka; możesz go kupić: „Nie­zbęd­nik Inte­li­gen­ta: 88 pytań do Nauki”.